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Pourquoi les longueurs rétrécissent-elles si les durées s'allongent ?

La contraction des longueurs Oui, ce raisonnement est faux ! La longueur d'un bâton est la distance entre ses deux extrémités à un instant donné. Ici, l'erreur est évidente : les points O(0,0) et B(12,7) ne sont pas simultanés dans R. C'est comme si on calculait la longueur d'un train en marche en prenant la position de l'avant à un moment donné et celle de l'arrière à un autre instant.   Pour obtenir la longueur du bâton dans R, il faut calculer la position de ses points à un instant T donné. A T= 0, les extrémités du bâton dans son référentiel propre sont représentées par le segment AB oblique bleu. Avec le temps, ce bâton va se déplacer parallélement à lui-même. Sa trajectoire est une surface dans l'espace-temps. Toujours à T = 0 et dans le référentiel R, le bâton est l'intersection de cette surface avec la droite T = 0 (l'axe des x). Il est représenté par le trait bleu AB' du bas. Ce "nouveau" bâton est un objet en 3D : il est l'intersection de la trajectoire du bâton en 4D avec le référentiel R en 3D à un instant donné.   La trajectoire de la première extrémité du bâton (en O à T=0) est l'axe du temps. La trajectoire de l'autre extrémité est une droite parallèle passant par le point B. Dans R0, les trajectoires de A0 et B0 sont XA0=0 et XB0=L0. Dans R, en appliquant la transformation de Lorentz, on a * XA = γ(-βcT0) et TA = γT0. La trajectoire de A est donc XA = -βcTA. * XB = γ(L0-βcT0) et TB = γ(T0-βL0/c). La trajectoire de B : XB = -βcTB + L0/γ. La longueur du bâton est donnée en prenant TA=TB : TA=TB => XB - XA = L0/γ. On retrouve bien notre contraction des longueurs. Ouf !   La dilatation des durées La contraction des longueurs Le mélanges des instants La trajectoire dans l'espace-temps

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